等比数列求和公式推导(等比数列求和公式的推导)

等比数列是指相邻两项相除都为同一个常数的数列。对于一个等比数列，其每一项可以表示为：

a₁, a₂, a₃,......, a_n

其中，a₁ 为首项，r 为公比（r≠0）。若取前 n 项和的代数和为 S_n，则有：

S_n = a₁ (1 - rⁿ) / (1 - r)

其中，S_n 为等比数列前 n 项的和。

下面，我们来推导等比数列求和公式。

因为是等比数列，所以有：

a₂ = a₁ r

a₃ = a₂ r = a₁ r²

......

a_n = a_n-1 r = a₁ r^n-1

将等式两端相加得：

S_n = a₁ (1 r r² ...... r^n-1)

同时，将 S_n 乘以公比 r，得：

rS_n = a₁ (r r² ...... rⁿ)

将上述两式相减得：

S_n(1-r) = a₁ (1 - rⁿ)

因此，等比数列前 n 项和的代数和 S_n 可以表示为：

S_n = a₁ (1 - rⁿ) / (1 - r)

以上就是等比数列求和公式的推导过程。

等比数列求和公式推导 | 数学公式推导

等比数列求和公式是初中数学中的重点内容，本文将详细介绍等比数列求和公式的推导过程。

什么是等比数列？

在等比数列中，每一项都是前一项与公比的乘积。

例如，1、2、4、8、16就是一个以2为公比的等比数列。

如何推导等比数列求和公式？

设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为S_n。

则有：a₁ a₂ ... a_n-1 a_n = S_n

同乘以公比q，得q(a₁ a₂ ... a_n-1 a_n) = qS_n。

将上式两式相减，得：

(1-q)S_n = a₁(1-qⁿ) / (1-q)

由此可求得等比数列的求和公式：

S_n = a₁(1-qⁿ) / (1-q)

结论

等比数列求和公式为S_n = a₁(1-qⁿ) / (1-q)。

应用

等比数列求和公式在高中数学中的数列与数学归纳法以及高斯消元法等内容中都有广泛的应用。

等比数列求和公式推导

等比数列是具有连续比关系的数列，在数学中有着非常重要的地位。在实际中，利用等比数列可以方便地解决各种问题，如货币的利率计算、人口增长问题、镜子反射、音调的升高和降低等等。

等比数列的求和公式是非常重要的，它可以用于确定等比数列的前n项和。公式的形式如下：

S_n = a₁(1-qⁿ)/(1-q)，其中S_n表示前n项和，a₁表示第一项，q表示公比，n为项数。

接下来，我们将介绍等比数列求和公式的推导过程：

1. 假设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为S_n。

2. 则有S_n=a₁ a₂ a₃ ... a_n-1 a_n

3. 等比数列的特点是任何两项之间的比值都是相等的，即a₂/a₁=q，a₃/a₂=q，...，a_n/a_n-1=q。

4. 将第二步中的式子中所有的项都用第一项a₁来表示，即：a₂ = a₁q，a₃ = a₁q²，...，a_n=a₁q^n-1

5. 将第四步中的结果带入第二步中的式子，得到S_n = a₁ a₁q a₁q² ... a₁q^n-1，整理后得：S_n = a₁(1-qⁿ)/(1-q)

通过以上推导过程，我们得到了等比数列的求和公式，可以更加方便地解决各种与等比数列相关的问题。在实际中，我们可以用Excel等电子表格软件来求解等比数列的前n项和，方便快捷。