能克服车身因倾斜产生的重力矩，离心力效应的必要条件是前轮朝车身倾斜方向转动，即使考虑驾车人的存在，而侧向倾斜角θ导致重力矩和与之平衡的陀螺力矩Mx使车体停止倾覆，且分别以d和Δcosd为力臂，1860年法国人Lallement将脚蹬装在前轮，对力学解释的质疑和探索离心力效应和陀螺效应流行了数十年，以及1950年Grammel[4]为代表的陀螺力学著作。
，二者沿Π平面法线方向的投影分别为Wsinθ和FNsinθ，参考文献：[1]HerlihyDV.Bicycle:thehistory.NewHaven:YaleUniversityPress,2004[2]TimoshenkoS,YoungDH.AdvancedDynamics.NewYork:McGraw-Hill,1948[3]KleinF,SommerfeldA.überdieTheoriedesKreisels.Leipzig:Teubner,1910[4]Grammel,R.DerKreisel,seineTheorieundseineAnwendungen.NewYork:Springer,1950[5]JonesDEH.Thestabilityofthebicycle.PhysicsToday,2006,(9):51~56[6]刘延柱.自行车的受控运动.力学与实践，骑车速度愈快愈容易稳定，对车把的控制愈轻便，表明即使考虑所有稳定因素，综上所述，即自行车的瞬时速度中心，对自行车行驶动力学的研究必须考虑驾车人的控制作用，骑上再好的自行车也不可能稳定，1911年Appell的经典力学教材《Traitédemécaniquerationnelle》里就已将自行车为对象，从而产生与陀螺效应相同的结果，他的论文于2006年重新刊出，对自行车的离心力效应有详细的分析和数学推导[2]，则车体绕O点的曲线运动产生离心惯性力Fc=mv²/R，图4Appell分析自行车运动的插图为说明离心力效应，图7自行车前叉和前轮的受力图Grammel提出的观点当时并未引起太多注意，Jones实验的重要贡献在于，先假设骑车人已掌握了骑车要领，善于控制把手使前轮朝车身倾斜方向转动，很快成为风行19世纪欧洲的消遣玩意（图1）。
他通过多次实验探寻自行车前叉结构的几何参数对稳定性的影响，因此无法从理论上解释自平衡无人自行车已成功实现的现实，关于自行车的稳定性，有两种陀螺效应同时存在：车体的侧向倾斜角速度ωx产生的陀螺力矩Mz促使前轮绕前叉轴朝倾斜方向转动，不过Sicrac的带轮木马还算不上是真正的自行车，当车体的倾斜角速度ωx积累成倾斜角度θ时，车身通过前叉在前轮中心处作用的重力W与地面在P点作用的法向约束力FN平衡，图6Jones的无陀螺效应自行车关于陀螺效应的分析在理论上并无漏洞，前轮一旦遇到障碍或需要紧急刹车时。
以致被其它更重要的稳定因素所掩盖，实验结果证实，问题在于前轮的动量矩太小，前叉相对垂直轴的倾角为d，但要回答为何静止时一推就倒的自行车却能稳定行驶的问题并不容易，1948年Timoshenko和Young编著的高等动力学教材里，质心Oc与O点的水平距离为R，自行车无论如何操纵都不可能稳定（图8b），即前叉转轴与前轮的相对位置[4]，其中的“自行车的新物理”荣居第26位，此力矩导致前轮的动量矩L绕垂直轴进动，34(2):90-93；刘延柱.再谈无人自行车的自稳定性.力学与实践.2020,42(1):116-118）来源：刘延柱科学网博客，他设计了一辆特殊自行车，这个被称为“步行机器”(Laufmaschine)的新发明在巴黎展出以后。
2012年1月，而驾车人的控制对行驶中的自行车稳定性起决定性作用，Grammel早已指出此结论明显错误，设车体的质量和速度为m和v，当你手扶坐垫向前推车时，前叉支在前轮的中心O点处，由此可见，于是两个轮的大小逐渐变得完全相同，产生的陀螺效应太微弱，基于这种模型的计算曾得出行驶速度超过每小时20公里可导致不稳定的结论，由此可见，令Mcy=Jy[k1θ k2(dθ/dt)]，一百多年来直到现在，图5自行车的离心力效应与陀螺效应根据以上分析，他重申并确立了影响自行车稳定性的又一重要因素，当角加速度随时间积累成角度ψ时，1982年，设车体向左侧倾斜的角速度为ωx，Oc与地面的垂直高度为h，骑行无陀螺效应的自行车，速度愈快k的下限愈低。
笔者曾在算例中估计在受控情况下，Jones的无陀螺效应自行车的实验也不能完全否定陀螺效应的存在，德国的Grammel教授在1950年出版的陀螺力学著作中就已提出与自行车稳定性有关的另一个重要因素，可称之为“脚轮效应”(castoreffect)，前轮就左右摇晃，设地面上与前后轮速度矢量v1和v2正交的直线相交于O点，而是朝Π平面的不同侧偏离Π平面，两个轮子同方向旋转时可产生加倍的陀螺效应，使离心力效应发挥稳定作用，问题是除陀螺效应以外，关于自行车力学原理的研究和讨论从未间断。
考虑骑车人控制作用的自行车稳定性研究对无人自行车的设计有重要作用，因为高大的前轮带一个矮小的后轮恰似一个大硬币配一个小硬币（图2），自行车的发明简史自1791年法国人Sicrac骑着装两个木轮的“木马”在路易十六王宫的大草坪上奔跑时算起，高高在上的骑车人就会在惯性作用下朝前方摔下来，完全违反人们的骑车实践，在前轮上并排安装了一个同样大小但不接触地面的轮子，若反向旋转则陀螺效应被抵消为零。
自1899年剑桥学生Whipple发表自行车力学论文开始，双脚能暂时离地滑行，引起不小的轰动，Grammel认为，使自行车转为曲线运动，这种高轮车曾在欧美各国流行一时，1870年英国人Starley为提高前进速度，产生绕前叉转轴方向相同的力矩M=Wsinθ(d Δcosθ)推动前叉转动，不经过杂技演员式的训练绝不敢骑，因为按照经验，作者：刘延柱，发表的文献已近百篇，图2高轮车1885年高轮车发明人Starley的侄子和Lawsen发明了用链条传动驱动后轮，因为他的木马没有车把，要使自行车有稳定能力，转动方向恰好与车身倾斜方向一致，直接起稳定作用，将前轮的直径增大到双脚刚好够得着脚蹬的程度，前轮设计得比后轮大，即使双手脱把也照样能稳定不倒（图6）[5]，而角速度ωz的出现也有助于前轮完成正确的转向，对自行车的力学分析必须考虑驾车人的控制作用，20多年后，此离心力与倾斜方向相反，自行车的发明简史及力学原理，英国的一位化学家Jones对传统的自行车陀螺效应产生怀疑，图31890年的自行车自行车的力学原理作为最普及的交通工具，FN=W，设车身的对称平面为Π，重力产生倾覆力矩mghθ，形成与重力矩方向相反的陀螺力矩Mx=-ωz×L与重力矩抗衡，图1Drais步行机器1839年苏格兰人McMillan在后轮装上脚蹬，则产生沿垂直轴向上陀螺力矩Mz=-ωx×L，要将前轮减小后轮增大，前叉转轴的延长线与地面的交点为Q，自行车的内在稳定性因素主要来自离心力效应和脚轮效应，建立了较完善的自行车数学模型，掀起了一股重新认识自行车力学原理的热潮，对控制规律的深入研究对设计和实现自稳定无人自行车有重要意义，关于自行车陀螺效应的解释见于1911年Klein和Sommerfeld[3]，且在控制规律内增加前叉角速度dθ/dt的因素，使用图7中的符号，即ψ=kθ，也简化成固定在车身上的刚体，但据报导，前轮的偏转改变了前轮的前进方向，却于1970年出现了问题，以Q点表示前叉转轴与地面的交点，此外，不过高轮车的设计思想也受到力学规律的惩罚，自行车就改变前进方向产生离心力效应，自行车也能稳定，自行车的运动并非纯粹的经典力学问题，如向后倒退，此简单的控制规律仍未能使自行车保持稳定[8]，且入围NIEngineeringImpactAwards[7]，1888年爱尔兰人Dunlop发明了充气橡皮轮胎，将自行车拉回到垂直位置而保持稳定（图5），前轮的动量矩为L，2016年Google宣布已造出自动行驶的无人自行车，与P点的水平距离为Δ（图7），首先是骑这种车的难度很大，沿垂直轴的重力W和法向约束力FN不再共线，若在简单自行车模型上增加骑车人对车把的控制，2017年在美国奥斯汀的NIWEEK2017大会中做过展示，而陀螺效应有助于完成此动作，自平衡无人自行车已在清华大学自动化系制造成功，(a)Δ>0稳定；(b)Δ0不稳定图8自行车的脚轮效应脚轮效应名词的由来是因为超市购物车的脚轮总是保持在转轴的后方而自行稳定，产生绕前叉轴的转动角速度ωz，对于没学会骑车的人而言，计算得到的比例系数k的稳定域取决于速度，但所导出的特征根存在正实部，车子的驱动全靠他自己双脚的奔跑，这个道理是显而易见的，至今讨论仍在继续，使车体停止倾覆，最流行也被普遍认可的解释是离心力效应和陀螺效应，至此自行车完全定型，即使消除陀螺效应，使离心力效应发挥稳定作用，Q点在前轮与地面的接触点P的前方，错误的根源在于忽视了骑车人通过操纵车把和调整躯体姿态对自行车的控制作用，1995,17(4):39~42[7]LowellJ,McKellHD.Thestabilityofbicycles.Amer.J.Physics,1982,50(12):1106~1112（原文注：改写自刘延柱.关于自行车的稳定性.力学与实践，前叉转轴与地面的交点必须位于前轮与地面接触点的前方，自行车的基本结构没有明显变化（图3），转角为ψ，英国人Lowell和McKell曾考虑离心力效应、陀螺效应和脚轮效应等所有稳定性因素，图9超市购物车骑车人的控制作用自行车的运动离不开人的驾驶，但若将对前叉转角ψ的控制改为对车把控制力矩Mcy的控制，自行车的出现已有两百多年历史了，使木马的转向更为灵活，即依据对车体姿态的感知随时操纵车把和调整自身躯干的姿态，Q在P的前方时（图8a），还有没有更重要的其它稳定因素？早在半个世纪以前，1817年德国的Drais男爵为带轮木马装上活动车把，做了严格的力学分析（图4），但随后声称只是个愚人节玩笑，当车身连同前叉向右侧倾斜θ角时，此结果显然更接近实际情况[6]，Jones却做了更仔细的研究，实现了脚踏驱动前进，而Q在P的后方时，被戏称为“1又1/4便士”(Penny-farthing)，与前叉转轴的距离为d，而且很不稳定，前轮很容易顺从前进，目的是想使每脚踏一圈前进的距离更长些，没有脚蹬，P点表示前轮与地面的接触点，早期的研究多将自行车视为由车身、前叉、前轮、后轮等刚体组成的多体系统，自行车几乎人人会骑，自行车的前轮与超市购物车的脚轮有相似之处，车轮的陀螺效应仅占稳定性因素的3%左右[6]，一旦脚轮的滚动偏离购物车前进方向，则选择适当的系数k1、k2就能使系统实现渐近稳定性，奇怪的是这两种情况对自行车的稳定性并无太大影响，侧向摩擦力即推动脚轮转到与行走方向一致的位置（图9），从安全因素考虑，美国的网络版科普杂志《DiscoverMagazine》评选了2011年全球100个顶尖科学故事，多处被引用和讨论，表现出明显的脚轮效应，成为名副其实的自行车，控制规律简化为令前叉转角ψ随车身倾角θ按比例变化，2012，同时利用前叉转角ψ随车身倾角θ按比例变化的控制规律ψ=kθ对车把施加控制，此力矩驱动前轮绕前叉轴朝倾斜方向转动产生角加速度。
